지금까지 수학의 여러 영역을 보았고, 이제 우리는 보편적인 수학적 소통을 위해 필요한 기초 지식과 방법을 접했다. 그런데 우리가 앞에서 본 것은 공통적인 특징이 하나 있다. 변화하지 않고 정적인 것에 대한 이야기였다.
그렇다면 변화하는 것을 어떻게 수학적으로 다룰 수 있을 것인가, 변화를 보편적인 방식으로 어떻게 구체적이고 명쾌하게 정의하고 식을 나타낼 수 있을까? 변화는 우리 도처에 있고, 자연은 늘 변화하고 있다. 항상 무언들이 움직이며, 기온이 변하거나 달의 형태가 변하고, 컵 바닥에 남아 있던 물기가 사라지고 주식 시세가 변한다. 세상은 정지한 사진이 아니라 동적인(dynamic) 동영상이다. 이러한 변화를 수학적으로 다루어 얼마나 빨리 변하는지 엄밀하게 정의하고, 변하는 정도를 비교하고 계산하려면 어떻게 할 수 있을까?
미분이 나오기 전의 수학들은 변화를 다룬 것은 아니었다. “반원의 원주각은 직각이다”라는 최초의 수학적 정리에서부터 피타고라스의 수, 소인수분해, 구의 겉넓이와 부피 공식, 일차방정식과 일차함수의 대응 등은 정적인(static) 수학적 명제에 대한 것이다.
그러나 세상은 어떤 식으로든 변하고 있다. 무질서하고 혼란스럽게 변하는 것이 아니라, 어떠한 자연원리에 따라서 작동하고 있다. 밤하늘에서 볼 수 있는 어느 행성에서의 자연 역시 동일한 자연원리와 동일한 구성원소, 동일한 힘으로 동작하고 있다. 변화는 우주의 보편적인 것이며, 세상과 우주를 보편적으로 기술하기 위하여 변화를 다룰 수 있는 수학이 필요하다. 변화는 자연에서 나타는 것만이 아니라 인위적이거나 추상적인 영역에서도 자연스럽게 나타난다. 변화를 다루는 것은 실제적인 현실에서, 추상적인 영역에서 그리고 보편적인 의미에서 중요한 영역이다.
한편으로 변화를 일으키는 변환과 변화를 주지 못하는 변환이 있을 수 있으며, 변화와 변환 그리고 불변은 여러 영역에서 시사하는 바가 있다. 원점을 중심으로 한 원은 모든 방향에 대해서 대칭이기 때문에, 원의 중심에 대하여 원을 얼마나 회전시키느냐에 따라서 원이 변하는 것은 아니다. 변환하는 과정은 변화를 나타냈지만 결과는 변하지 않을 수도 있다. 대칭이 있는 경우에 어떠한 변환에 대해서는 변하지 않을 수도 있다. 이러한 대칭적인 변환을 수학에서는 군(group)이라고 하는 중요한 대수적 구조를 정의하게 한다. 군은 변화를 다루는 또 다른 방식으로써 미분과 더불어 자연을 이해하는데 중요한 안목을 제공한다. 어떠한 변환에 대해서 공간이나 계(시스템)이 대칭이냐에 따라서 공간과 계의 속성을 파악할 수도 있다. 또한 이렇게 변환에 대하여 불변량이 되는 것을 기준으로 하여, 수학의 여러 분야를 분류하기도 한다.
변화는 무엇인가? 우리가 일상에서 느끼는 변화, 혹은 현실세계의 직접적 경험이나 관념적으로 생각할 때, 변화는 대개 ‘무엇이 시간에 따라 어떻게 변화하는가?’ 정도가 먼저 떠오를 것이다. 물론 변화가 꼭 시간에 대하여 달라지는 것만을 의미할 필요는 없다. 가령 지도를 펼치면 위치에 따라서 대응되는 것들이 변화한다. 도시의 지도라면 위치에 따라서 편의점이나 쇼핑몰, 식당이나 정부건물이 대응될 수도 있다. 또는 위치에 따라서 고도가 변하는 것 혹은 지표면의 색의 변화와 같이 얼마든지 어느 기준에 따라서 무엇이 변하는지를 다양하게 관계지을 수 있다. 가스레인지를 켜서 냄비에 담긴 물의 온도가 시간이나 불의 세기에 따라서 얼마나 달라지는 경우도 있다. 지리적이거나 물리적인 변화가 아니더라도, 갓난아이를 많이 안아준 횟수와 영아의 칭얼거림 정도의 관계와 같이 변화도 있다. 변화는 꼭 시간을 기준으로 할 필요 없이 주목하고자 하는 기준을 선택할 수 있지만, 통상적으로 일상에서 이야기하는 그리고 자연을 기술하는 체계인 역학(力學 mechanics)에서 주로 이야기하는 것은 시간을 기준으로 하는 사람만상의 변화이기는 하다.
변화는 일반적으로 어떤 것(가령 x)에 대하여 어떤 것(가령 y)이 얼마나 달라지는가를 말하는 것이다. 가령 자동차가 1초에 10미터 움직이는 것은 1초에 20미터 움직이는 것보다 변화가 작은데, 시간에 대해 변화가 작은 경우 흔히 ‘느리다’고 한다. 비슷한 위치에서 거의 같은 양의 햇볕을 받더라도, 여름 해변의 모래는 걸을 수 없이 뜨겁게 느껴지지만 바닷물은 시원하다. 모래의 온도는 햇빛에 의한 복사 에너지에 대하여 물보다 훨씬 빨리 변한다. 두서 없이 말이 길어졌다.
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