파동 역학
매질의 복원력을 뉴턴의 운동방정식에 넣고, 극한을 취하면 일반적인 파동방정식을 얻을 수 있다. 편의상 매질의 1차원적 운동에 대해 이야기하기로 한다. 2차원, 3차원 운동으로 확장하는 것은 수학적으로 조금 더 일을 하는 것이고 물리적으로 큰 변화가 있지는 않다.
k는 파수(wave number)라고 부르며, 단위길이당 파동의 개수인 1/λ에 2π를 곱한 물리량이다.
주기(period)를 T라는 기호로 표현하자. 파동은 1 주기 동안 1 파장을 이동한다. 즉, 파동의 속력과 주기, 파장은 v= λ/T의 관계를 갖는다. 진동수(frequency)를 f라는 기호로 표현하면, 주기와 역수 관계 f= 1/T 가 있다.
같은 것이 1 초에 5회 반복되면, 주파수는 5 (주파수의 단위는 Hz 이고, ‘헤르츠’라고 읽는다)이고 주기는 1/5 초(SI단위계에서 시간의 단위는 ‘초’이다)이다. ω는 ω≡2π f로 정의된 값이기 때문에 rad으로 표현하는 각도(각도를 라디안으로 표현하는 방법을 호도법이라고 한다)의 진동수를 나타내는 값이며 각진동수(angular frequency)라고 부른다. 사인값의 최대치는 1이므로 A는 평형점으로부터의 최대변위이며, 진폭(amplitude)이라 부른다. 이들을 그림에 나타내면 다음과 같다.
k는 파장의 역수에 2π를 곱한 물리량이다. 왜 2π를 곱했을까? 삼각함수의 특성을 반영하기 위해서다. 우리는 삼각함수 안에 들어가는 것이 보통 각도로 알고 있다. 직각삼각형의 각도를 통해서 삼각함수를 정의했기 때문이다. 직각을 90°로 표현하는 것에 익숙하고, 피타고라스 정리에 의해 30°, 45°, 60°의 사인값을 쉽게 구하고 암기하고 있을 정도라서 각도를 °로 표현하는데 익숙하다. 그러나 이렇게 각도를 표현하는 것은 다분히 인간의 표기일 뿐, 도형을 기준으로 한 것은 아니다. 지구가 태양을 도는데(혹은 태양이 지구를 한 바퀴 도는데) 걸리는 데 낮과 밤이 365 회 바뀌기 때문에, 한 번 돌고서 제자리에 위치하는 각도를 360 단위로 표현한 것이다. 우주 어느 곳에 있을 생명체가 사용하는 각도의 단위가 아니라, 태양계의 지구라는 행성에 특화된 단위일 뿐이다. 그렇다면, 도형 자체를 반영하는 각도의 단위는 무엇일까?
파동은 에너지의 전달방법이라고 했다. 그렇다면 파동이 전달하는 에너지를 생각해보자. 파동은 매질의 진동이기 때문에, 파장의 에너지는 매질의 운동에너지와 같다. 사인파가 한 파장 진행하는 동안 에너지가 얼마나 되는지, 한 파장에는 얼마의 에너지가 있는지 계산하는 것은 아래의 적분을 수행하는 것이다.
