표현의 편의상, 속도와 위치를 v(t)와 r(t)로 표기하고, v0와 r0는 처음의 속도와 위치를 나타내는 것으로 한다. 좌표계는 우리가 편의에 따라 선택할 수 있으므로 특별히 언급하지 않는 한, 출발점인 r0의 위치를 편의상 원점(r0 = 0)으로 놓아도 된다.
먼저 크기를 고려하지 않고 질점(mass point)의 운동을 기술하려고 한다. 수식이 많이 나오기 때문에, 만들어 놓은 슬라이드 자료를 활용하여 나타낸 것에 대하여 양해를 구한다.
아래의 그림과 같이, 물리적 상황(힘, 질량, 초기속도 등)에 따라서 질점이 어떻게 운동하는지를 살펴볼 것이다.
뉴턴의 운동방정식은 미분방정식이므로 아래와 같은 미분공식을 잠깐 살펴보는 것도 괜찮을 것 같아서 놓아둔다. 물론 적분으로 가속도가 주어졌을 때, 위에서와 같이 속도와 위치를 구할 수도 있으며, 경우에 따라서 풀기 편한 방법을 사용하면 된다.
a. 먼저 가장 간단하게 힘이 주어지지 않는(F = 0 )인 경우, 운동과 위치가 어떻게 구해지는지 살펴보자.
위에서 힘이 없는 경우에 등속도 운동을 한다는 것을 운동방정식으로 풀어서 보였으며, 앞에서 우리가 뉴턴의 운동법칙을 추론으로 유도하면서 운동방정식이라는 역학법칙 없이 추론만으로 얻은 결과와 물론 동일하다.
힘이 작용하지 않는 물체는, 물론 가속도가 0이다. 가속도가 0이면 속도가 변하지 않는(속력과 방향이 변하지 않는) 등속도 운동(등속 직선운동)을 한다. 위치는 시간에 비례하여 출발점에서 멀어진다. 이렇게 임의의 시간에 대한 속도와 위치, 운동상태를 구했다. 우주의 어느 곳도 힘이 0인 곳인 없겠지만, 힘을 약하게 받는 물체의 운동은 등속도 운동으로 기술할 수 있다. 가령, 미끄러운 얼음판에서의 운동이나 공기저항과 중력이 균형을 이루는 빗방울의 운동, 지구중력과 원심력이 균형을 이룬 우주정거장의 무중력 상태에서 일어나는 운동들이 그렇다.
b. 이제, 힘 F = 상수로써 힘이 일정한 크기와 방향으로 주어지는 경우에, 질점이 어떻게 운동하는지를 살펴보자.
힘이 일정하게(크기와 방향 모두!) 주어지는 경우에, 질점은 속도의 변화인 가속도가 일정한 값을 갖는 등가속도 운동을 한다. 만약 초기의 속도와 같은 방향으로 힘이 주어지거나 정지한 물체에 대하여 힘이 주어진 경우에 질점은 등가족도 운동에서 직선운동을 할 것이다. 이 경우에(그리고 처음 속도와 힘이 반대방향인 경우에도) 물체는 1차원 운동이므로, 위치를 기술하기 위하여 필요한 변수는 한 개면 된다.
그런데 지표면 근처에서 우리는 중력가속도가 일정하다고 생각하고 운동을 기술할 수도 있다. 앞에서 나온 내용이지만 다시 슬라이드로 표현하면 아래와 같다. 가장 높은 산들이 모인 히말라야 산맥의 어느 산을 등정한다고 하더라도, 지구 반지름에 비하여 1/3000도 안되며 지역에 따라 중력가속도 값이 크게 차이가 나지 않기 때문에 중력가속도 g가 일정하다고 생각하는 것은 일상적을 괜찮다. 우리의 일상은 대개 지표면 근처에서 이루어지는데, 지표면에서 물체는 중력에 의하여 초기 속도에 따라 다양한 궤적을 그릴 수 있다. 운동방정식을 풀어서 살펴보자. 여기서 공기저항은 우선 무시할 것이지만, 빠르게 움직일수록 공기저항을 무시할 수 없다.
자유낙하, 수평으로 던진 경우, 사선으로 던진 경우 등의 다양한 초기 상태에 따라서 운동상태(운동방정식의 해)가 달라질텐데, 우리는 일반적인 운동 즉, 사선으로 던진 물체의 운동을 살펴볼 것이다. 이렇게 가장 일반적인 경우에 운동방정식을 푼 후에, 지평면과 초기속도와의 각도를 고려함으로써 자유낙하 등 여러 운동에 대해 모두 알 수 있는 장점도 있다. 물론 이 풀이가 약간 어렵게 느껴질 수도 있지만, 수학적 혹은 물리적 연습으로 다뤄보는 것도 좋을 것 같다.
다시 살펴 보면,
이렇게 지면과의 각도와 초기속도에 따라서 지면 근처에서 일어나는 운동에 대하여 (공기저항을 무시했을 때) 모두 임의의 시간에 어느 위치에서 어느 빠르게와 방향으로 움직이는지를 정확하게 구할 수 있다. 운동을 정확히 예측할 수 있기 때문에, 역학은 운동방정식을 가져야 한다. 참고로, 보어의 원자모형은 역학법칙이 될 수 없이 현상을 설명하기 위한 모형이었을 뿐이며, 양자역학이 나옴으로 해서 원자와 전자에 대한 행태를 정량적으로 이해할 수 있게 되었다. 양자역학에서 운동방정식은 쉬뢰딩어 방정식 혹은 하이젠베르그의 행렬방정식으로 나타난다.
c. 진동하는 물체의 운동
어느 평형점을 중심으로 물체가 진동하는 것을 자연에서 흔히 볼 수 있다. 진동운동은 그네나 진자, 용수철에 매달린 물체와 같이 거시적인 영역에서만이 아니라, 미시적으로 자연현상을 이해하는데 있어서도 중요하기 때문에 단순조화운동(Simple Harmonic Oscillation)이라는 이름까지 있다. 일반적으로 위치에너지가 최소가 되는 평형점 근처에서 물체가 단순조화운동 하는 것을 수학적으로 보일 수 있으나, 여기서는 간략히 설명하는 것으로 대체한다. 단순조화운동은 고전역학을 넘어 양자역학과 입자물리, 화학, 고체물리 등 여러 분야에서 나올 정도로, 단순한 모델이지만 다양한 계의 상태를 잘 표현한다.
단순조화진동 하는 물체에 주어지는 힘은, F = – k r로 표현되며 복원력(restoring force)[1]이라고 부른다. 여기서 r은 평형점으로부터의 위치, –k는 평형점으로 되돌아가려는 특성을 나타낸다. 같은 길이만큼 잡아당겼을 때 되돌아가려는 힘이 더 큰 단단한 용수철은, k값이 큰 값임을 식에서 알 수 있다. 진동하는 물체는 1차원 운동을 하므로, 위로 던진 물체의 운동처럼 벡터표현 대신에 부호로 방향을 표시하기로 한다.
여기서 물체의 위치를 ω, θ, A로 나타내는 것이 물리적으로 이해하기 좋고, 앞으로도 필요하기 때문에 구태여 새롭게 ω를 정의하였다. ω는 (각도가 얼마나 빨리 변하는 가를 나타내는) 각속도로써, 한 바퀴(2π) 도는데 주기 T 시간이 걸리기 때문에, ω=2π/T = 2π f 가 성립한다. f는 1초에 몇번 회전하느냐를 나타내는 물리량으로 주파수라고 부르고, 주기 T와 역수 관계이다. 가령 1초에 5 바퀴 회전하는 경우에, 진동수는 5 Hz(헤르츠. 진동수의 단위)이고 주기는 1/5초가 된다.
참고로 각도를 나타내는 보편적인 방법은 라디안을 사용하는 것이다. 원에서 1 라디안 각도에 해당하는 원호의 길이와 반지름의 크기는 같다. 반지름의 길이와 같아지는 원호의 각도를 1 라디안으로 정의한 것이다. 처음에 각도의 단위로 °를 사용하여 한 바퀴를 360°도 정의한 것은, 우리 일상에서 관습적인 것이며 우주 보편적인 표현은 아니다. 지구가 태양주위를 약 365일 정도에 걸쳐서 한 바퀴 공전하고 제자리에 오기 때문에 옛날부터 사용하던 관습적 표현이며, 공전주기가 자전주기의 180 배 정도 되는 외계인의 행성에서는 180°를 관습적으로 한 바퀴라고 할 것이다. 그러나, 우주의 어느 곳에서도 반지름의 길이와 같아지는 원호의 길이를 만드는 각도는 같기 때문에, 라디안으로 각도를 표시하는 것은 우주 보편적인 각도 단위로 볼 수 있다.
참고로 양자역학에서는 힘(혹은 위치에너지)의 형태가 같더라도 다른 역학체계이기에, 운동을 기술하는 운동방정식이 다르다. 즉, 뉴턴의 운동방정식 대신에 쉬뢰딩어 방정식으로 대체해야 한다. 복원력을 쉬뢰딩어 방정식에 넣어서 풀면 조화진동 하는 양자 계의 에너지는 진동수에 비례하는 불연속적인 값으로 나타나며, 고전물리에서 설명할 수 없는 흑체복사 등의 현상들을 설명할 수 있다. [2]
단순조화운동을 나타내는 (식 ②)는 파동을 나타내는 일반적인 식과도 같다. 미시세계의 물질이 파동성을 갖는다는 양자적 특징을 생각한다면, 우리는 (식 ②)를 나중에 다시 만날 것임을 예감할 수 있다. 화학적으로도 분자구조를 파악하는데 분자의 진동과 분광학적 분석은 활발히 연구되는 등 과학의 여러 분야에서 조화진동 모형은 낯설지 않게 만날 수 있다. 그러나 분자의 진동과 같이 미시적인 역학을 기술하기 위하여, 위와 같은 뉴턴역학이 아닌 양자역학적으로 풀어야 한다. 운동방정식 (식 ①)은 쉬뢰딩어의 파동방정식으로 변환되면서, 해인 (식 )는 불연속적인 에너지에 대응하는 특별한 형태(에르미트 다항식)로 나타난다. 는 분자의 결합 정도와 분자량에 따라 달라지는 변수로, 진동하는 분자의 특성을 나타낸다.
[1] 단순조화운동의 양자역학적 풀이는 http://bitly.kr/Jik3 에서 볼 수 있다. 양자역학적 조화진동 모델은 현대물리학의 여러 분야에서 응용된다.
[2] 복원력은 분자들 간의 미시적인 결합력이 거시적으로 나타난 것이며, 미시적 결합력은 양자역학적으로 이해되고 근사적으로 계산할 수 있다.