우리는 지금까지 크기를 고려하지 않은 질점의 운동을 지배하는 보편적 원리(뉴턴의 운동법칙)와 운동원인(만유인력, 뉴턴의 중력이론)에 대하여 살펴보았고, 보편적 원리를 운동방정식이라는 수식으로 표현하면서 다양한 물리적 계에 대하여 그 계의 운동들(등속도, 등가속도, 단진동 등)을 정량적으로 알 수(운동방정식을 풀어서 나온 해) 있었다. 또한 제한적이지만, 질점이 환경으로부터 일정한 힘 외에 속력에 비례하는 저항력(마찰력)을 받는 경우에도 운동에 관한 정보를 추려내는 이야기도 다루었다.
그러나 단지, 어느 환경(질점의 경우 다른 요인이 없으므로, 계의 운동특성은 힘(F)에 의해 결정된다.)에서 질점의 운동상태(속도, 위치)를 아는 것만이 아니라, 뉴턴의 역학체계에서 유용한 다른 물리량들을 정의하고 뉴턴역학 체계에서 파생되는 결과들을 아는 것도 의미 있는 일이다. 가령, 충격량이나 역학적 에너지 보존법칙, 각운동량 등이 그렇다. 새롭게 정의된 물리량과 뉴턴 역학체계에서 파생된 규칙들을 잘 적용하면, 어떤 물리계에 대해서는 꼭 운동방정식을 풀지 않아도 좋을 정도의 정보를 얻을 수도 있다.(가령, 운동방정식을 풀지 않아도 중심력에서 각운동량이 보존되므로 행성의 면적속도가 일정하다는 케플러의 제2법칙을 증명할 수 있다)
또한 뉴턴의 운동법칙과 만유인력을 기초로 하여 물리적으로 확장하면서, 자주 사용되거나 중요한 물리량 혹은 물리량들 사이에 성립하는 관계와 자연현상을 이해하는 체계를 알 수도 있다.
뉴턴역학을 물리적으로 확장하여 강체의 역학이나 유체역학, 운동 좌표계의 변환에 따른 관성력, 파동 등을 이해할 수 있으며 추후에 간략히 알아볼 것이다. 또한 뉴턴의 운동법칙을 수학적으로 형식화하고 확장하면서 우리는 현대물리와 맞닿는 새로운 원리를 볼 수 있고, 고전역학에서 현대물리에 모두 사용할 수 있는 보편적 체계를 만날 수 있고 형식화를 통하여 새로운 통찰을 얻는 경험도 가질 수 있다. 차근차근 살펴보도록 하자.
먼저 단순한 계로부터 시작할 것이며, 계에 대해서는 아래와 같은 정의를 사용하도록 하자.
이렇게 우리가 주목하고 기술하고자 하는 물리적 대상을 계로 표현하고, 단순한 계에 대해서 살펴보자.
뉴턴의 운동 제2법칙은, 뉴턴 역학체계에서 주장하기로… 우주 보편적으로 성립하는 운동의 원리 혹은 자연의 원리이다. 물론 뉴턴 역학체계는 근본적으로 틀린 이론이지만 우리가 접하는 대부분의 상황에서 아주 훌륭한 이론이다. 여기서는 뉴턴의 운동법칙들을 인정하고 이야기들을 전개할 것이다. 두 입자(질점으로 간주한다)로 이루어진 계에 대해서 생각할 것인데, 각 입자들은 물론 뉴턴의 운동 제2법칙에 지배되어 움직인다.
아래의 슬라이드는 두 입자로 이루어진 계에서 외력을 무시할 경우에, 작용-반작용의 법칙(뉴턴의 운동 제3법칙)과 계의 운동량 보존법칙을 유도할 수 있으며, 두 입자로 이루어진 계의 운동을 서술할 때 질량중심의 개념을 도입하여 운동을 이해하는 것이 좋다는 것을 말하고 있다.
또한 두 입자 사이에 작용하는 힘은 단일한 것이 아니고, 서로 쌍으로써만 존재하므로 상호작용이라는 표현도 적합하다는 것을 말하고 있다. 사실 현대 물리학에서 힘이라는 표현 대신에 상호작용이라는 표현을 더 많이 사용한다. 가령, 쿼크 사이에 작용하는 강한 상호작용이나 중성자가 양성자로 변환되는 것에 관계되는 힘에 대해서 약한 상호작용, 전하들 사이에 작용하는 힘을 전자기적 상호작용 이렇게 말하는 경우가 많다. 그런데, 자연의 기본 힘 4가지 중의 나머지 하나인 중력에 대해서는 상호작용이라는 표현대신에 중력이라는 표현을 더 많이 사용한다.
앞에서 하나의 입자에 대한 사례들: 힘을 받지 않는 경우(등속도 운동), 일정한 힘을 받는 경우(등가속도 운동), 만유인력을 받는 경우(행성운동의 법칙), 속력에 관계하는 저항력을 받을 때의 운동(종단속도), 복원력을 받는 경우(진동)에 대해서 알아보았고, 이제 입자를 하나 더 해서 두 입자로 이루어진 계에 대해 알아보고 있다.
단순하게 힘이 없는 경우에도 우리는 가볍지 않은 결과를 얻을 수 있었다. 이제 두 입자로 이루어진 계에 외력이 작용하는 경우를 살펴보자.
두 입자로 이루어진 계만이 아니라, 유한한 개수의 입자들로 이루어진 계의 운동을 기술하기 위하여 질량중심과 질량중심을 원점으로 하는 질량중심 좌표계를 사용하는 것이 좋다는 것을 위의 슬라이드에서 나타내고 있다. 그리고, 일반적으로 N개의 입자들로 구성된 다체계의 경우에 여러 외력이 작용하더라도, 질량중심의 가속도는 계에 작용하는 모든 힘들의 합인 알짜힘으로 결정된다는 것을 나타낸다.
이제 두 입자가 서로 충돌하거나 한 입자 혹은 입자들이 모인 물체가 서로 충돌하는 경우를 생각해보자.
뉴턴의 운동 제2법칙은 시간에 따른 운동량의 변화를 힘으로 정의했기 때문에, 아래와 같이 힘을 시간으로 적분한 것을 충격량으로 정의할 때 운동량의 차이와 같아진다는 것을 알 수 있다. 만약에 같은 높이에서 같은 물체를 떨어뜨린다고 가정하고, 바닥의 재질만 다르다고 생각해보자. 같은 높이에서 떨어지므로 물체가 바닥에 충돌하기 직전의 속도와 충돌 후 어느 정도 지난 후에는 정지하므로 바닥의 재질에 상관없이 운동량의 변화는 같다고 볼 수 있다. 즉, 바닥의 재질에 상관 없이 일정시간 동안 일어난 충격량은 같다. 그런데, 운동량의 변화가 어느 정도의 시간에 걸쳐서 일어났느냐에 따라서 떨어지는(혹은 벽에 충돌하는) 물체가 받는 힘은 다를 수 있다. 운동량의 변화가 같다고 하더라도 충격량의 정의에 따라서, 짧은 시간에 걸쳐서 일어났다면 보다 더 긴 시간에 걸쳐서 일어난 경우에 비하여 더 큰 힘을 받는다. 이 힘은 물체에 변형을 가져오는 원인이 될 수 있다. 아주 강하게 결합된 물체라면 깨지지 않고 되 튀어 오르겠지만, 그렇지 않은 경우에는 물체가 깨지거나 하는 등의 변형이 일어날 수 있다.
접시가 딱딱한 바닥에 떨어지는 경우와 스폰지 바닥에 떨어지는 경우를 생각해보면, 두 경우 모두 같은 높이에서 같은 접시를 떨어뜨렸다면 바닥에 닿을 때의 속도가 같고 결국에는 정지하기 때문에 운동량 변화는 같다고 할 수 있다. 그러나 바닥에 떨어져서 멈출 때까지 걸리는 시간은 스폰지 바닥일 경우가 딱딱한 바닥에 떨어질 때보다 훨씬 길 것이다. 그러나 두 경우의 운동량 변화(=충격량)가 같기 위해서는, 정지하는데 걸리는 시간이 긴 쪽에 작용하는 힘이 금방 정지하는 경우에 작용하는 힘보다 작아야 한다. 즉, 물체의 손상을 피하기 위해서는 작용되는 힘을 줄여야 하는데, 이것은 물체의 운동을 서서히 변하도록 해야 한다는 것을 의미한다. 이렇게 물체가 받는 힘인 충격을 줄이기 위해서, 자동차의 에어백이나 도로에 설치된 충격흡수 장치 등을 사용한다. 깨지기 쉬운 물건을 배달할 때, 공기방울이 있는 비닐이나 부드러운 재질로 물건을 감싸는 것은, 떨어뜨리더라도 물건에 전달되는 힘의 크기를 줄일 수 있도록 하는 것이다.