계의 질량중심의 운동은 외력의 합을 운동방정식에 넣어서 구할 수 있기 때문에, 각 물체의 개별적인 운동을 질량중심에 대한 변위 혹은 물체들의 상대적인 변위로 표현하면 운동방정식을 풀기가 보다 쉽다. 구체적인 내용은 이체문제(two body problem)를 참고하기로 하자.[1]
(식 ②)의 질량중심은 물질이 연속적인 경우에도, 적분으로 대체하여 비슷한 식으로 표현될 수 있다. (식 ③)은 다체계 혹은 연속적 매질로 이루어진 다양한 모양의 물체에 대해서도, 물체의 각 구성입자들이 받는 외력들을 질량중심에 물체의 질량이 모여있는 것으로 대체하여 계의 운동을 기술할 수 있도록 한다. 물체가 강체와 같이 구성입자들 사이의 상대위치가 변경되지 않는다면, 질량중심만으로 다체계의 운동을 질점의 운동으로 정확하게 기술할 수 있게 한다. 지구와 달이 서로 중력으로 끌어당기는 이체문제는 대수적으로 정확하게 풀 수 있지만, 지구의 바다가 일으키는 조석운동은 강체로 볼 수 없기 때문에 질량중심의 문제로 환원할 수 없다. 지표면에 따라 달 사이의 거리가 달라지기 때문에 조석력(tidal force)이 발생하고, 간만의 차이가 생기며 해류의 원동력 중 하나가 된다. 블랙홀과 같이 중력이 극도로 높은 경우에는 위치에 따른 중력차이인 조석력이 강하여 물체가 뜯겨져 나갈 수 있다.
예제로 거의 같은 두 물체가 완전탄성 충돌하는 경우를 실제로 풀어보면, 아래와 같다.
이것은 당구 경기에서볼 수 있는 현상이기도 하다. 당구공은 거의 완전탄성처럼 충돌하고, 당구대의 면은 잘 구를 수 있는 재질로 되어 있다. 미끄러운 평면에서 크기를 무시할 수 있는 두 물체가 충돌한다면, 두 물체는 충돌 후에 이루는 운동방향이 90도가 된다. 그러나 현실에서는 크기를 무시할 수 없기 때문에(특히 당구공은 크기를 무시할 수 없을 정도로 크다) 충돌 지점에 따라 충돌 후의 운동결과가 달라질 뿐만 아니라 자전(스핀)이 있기 때문에 충돌 후의 운동을 계산하는 것은 더 복잡하다. 그러나, 원칙적으로 두 당구공의 운동에 대해서 어느 정도의 범위 내에서 비교적 정확하게 예상할 수 있다.
삼체문제
서로 중력을 미치는 물체들의 운동에 있어서, 두 물체의 운동(이체문제)는 대수적으로 풀리지만, 중력을 주고받는 3개의 물체에 대한 운동방정식에 대하여, 일반적인 대수적 풀이가 불가능하다는 것을 푸앙카레가 1889년에 증명했다.[2] 그보다 100여년 전에 라그랑주는 특별한 경우에는 삼체문제를 대수적으로 풀 수 있음을 수학적으로 유도했고, 라그랑주를 기념하여 무거운 천체를 안정적으로 선회할 수 있는 인공위성의 궤도를 라그랑주 포인트(L1, L2, L3, L4, L5의 5개가 있다.)라고 부른다. 삼체문제는 후에 혼돈이론(chaos theory)이라는 동역학 계의 연구에 큰 영향을 끼쳤다.
[1] 이체문제는 질량중심의 좌표와 두 물체의 상대위치를 나타내는 좌표로 운동을 기술하는 것이 편리하다. 자세한 것은 http://bitly.kr/Uwlp 참고
[2] 삼체문제는 http://bitly.kr/rhB4 참고