유럽에서 16세기부터 전제군주제가 확립되면서 자연에도 법칙이 있다는 생각이 퍼졌다. 이전까지는 돌이나 물과 같은 무생물이 어떤 법칙을 따른다는 생각이 우스울 수도 있었기 때문에 자연법칙이라는 표현은 잘 나타나지 않았다. 17세기 초부터 ‘케플러의 법칙’, ‘보일의 법칙’과 같은 표현이 등장한다. 전제군주제와 함께 국민 모두가 지켜야 할 법이라는 관념과 세상의 입법자인 신이 자연이 따라야 할 법을 주었을 거라는 관념이 생긴 것이다. 자연의 법칙도 사회의 법과 마찬가지로 영어로는 law라고 한다. 역학체계의 기초가 되는 자연원리를 데카르트가 자연법칙이라고 한 것이나 뉴턴이 ‘운동의 법칙’(law of motion)이라고 쓴 것도 그 시대의 표현으로 생각된다.
Principia 프린키피아(1687년)
어느 날 뉴턴은 천문학자 에드먼드 핼리(1656~1742)와 이야기를 나누던 중에, 20년 전에 행성의 궤도가 타원인 이유는 지구와 같은 행성은 태양으로부터 받는 힘이 거리의 제곱에 반비례하기 때문이라는 것을 수학적으로 계산해냈다고 말했다. 핼리는 깜짝 놀라며 그 내용을 출간하라고 적극적으로 권유하고 성원했다. 과학의 이정표를 세우게 된 『프린키피아』는 이렇게 세상에 나오게 되었으며, 뉴턴은 이 위대한 책의 서문에서 핼리에게 특별히 감사의 말을 전한다. 핼리는 바로 핼리 혜성을 발견한 바로 그 천문학자이다.
뉴턴은 1665년 케임브리지 대학생 시절에 흑사병이 유럽을 휩쓸자 고향에 내려와 있으면서 이미 연구했지만, 1687년에 ‘자연철학의 수학적 원리’(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica 줄여서 Principia 프린키피아)가 나오며 과학혁명이 완성된다.
뉴턴은 2천 년 전의 선배 유클리드가 인간 이성의 기념비적 저작인 ‘원론’에서 기하학을 풀어냈듯이, 공리적 방법으로 역학체계를 세웠다. 질량이나 힘, 운동량과 같은 개념들을 정의한 후 이 용어들을 사용한 3개의 운동법칙을 공리로 택하고(뉴턴은 자연원리를 ‘공리’ 혹은 ‘법칙’으로 표현했다), 이를 전제로 하여 역학체계를 만든 것이다.
또한 어느 물체든 서로 잡아당기는 힘이 있다는 만유인력을 발견했다. 이로써 인류가 탄생한 이래 그렇게나 신비롭게 여기던 하늘의 운동을 정확하게 기술할 수 있었다. 뉴턴은 지상의 세계와 천상의 세계가 같은 법칙으로 운동한다는 것을 밝혀냈다. 인간의 이성은 뉴턴의 역학체계를 이용하여 초월자가 지배하는 불가지한 자연을 인간의 영역으로 개척하며 인간의 위치를 질적으로 변화시킬 수 있게 되었다.
위대한 책 『프린키피아』를 따라서 내용을 살짝 보는 것도 좋을 것 같다. 위대한 천재 유클리드의 『기하학』 책처럼, 『프린키피아』도 정의로부터 시작한다.
- 정의 I “물질의 양은 물질을 밀도와 부피의 곱으로 측정하는 값이다.”
- 정의 II “운동의 양은 운동의 속도와 물질의 양을 곱하여 측정할 수 있는 값이다.”
- 정의 III “물질의 고유한 힘은 물체가 정지해 있거나 등속 직선운동을 하는 상태를 유지하고 변화에 저항하는 능력이다.”
- 정의 IV “외부의 힘은 물체에 작용하여 정지 상태나 등속 직선운동 상태를 변화시키는 것이다.”
정의 I은 질량(mass)을 ‘물질의 양(quantity of matter)’이라 여겼지만, 밀도를 정의하지 않아서 질량을 제대로 정의한 것은 아니다. 정의 II는 운동량(momentum)이라고 하는 것으로서 ‘운동의 양(quantity of motion)’을 속도와 질량의 곱으로 정의했다. 즉, 운동이 클수록, 또 질량이 클수록 운동의 양이 커진다는 생각으로 만든 물리량이다. 정의 III은 관성(inertia)에 대한 정의이다(Inertia의 어원은 ‘게으르다, 쉬다’라는 뜻의 라틴어 iners이다). 관성은 운동의 변화에 저항하는 것이다. 정의 IV는 외부의 힘(force)에 대한 정의이며, 뉴턴의 핵심적인 내용이 출발하는 지점이다. 물체의 관성을 변화시키는 것을 ‘외부의 힘’이라고 한 것이다. 이 뒤로도 정의가 몇 개 더 나오지만, 운동의 법칙을 이해하는 데 당장 필요한 것은 아니니 넘어가고, 그 뒤에 운동의 배경이 되는 시간과 공간에 대한 해설이 나온다.
- 해설 I “절대적이고 실재하며 수학적인 시간은 그 자체로, 그리고 그 자체의 성질로 외부의 어떤 것과도 상관없이 일정하게 흘러가고…”
- 해설 II “절대공간은 그 자체의 성질로 외부의 어떤 것과도 상관없이 균일하고 움직이지 않는다.”
뉴턴의 시간과 공간에 대한 해설에서 뉴턴 역학의 정체성을 느낄 수 있다. 시간과 공간은 운동의 배경으로서 물체의 운동과 완벽하게 분리된 무대라고 말하고 있다. 절대적인 시간과 공간에 대해서는 가정할 필요도 없을 정도로 당연하게 생각되었기 때문에 가정의 영역으로도 들어가지 못하고 해설로 처리되었다. 그러나 20세기 초에 아인슈타인의 상대성 이론에 의하여 물체의 운동이 배경과 어울려지며, 배경인 시간과 공간이 상대적인 것으로 뒤집어진다. 정의와 해설을 지나서 이제 뉴턴 역학의 기반이 되는 뉴턴의 운동법칙들이 나타난다.
뉴턴의 운동법칙
뉴턴의 운동법칙은 우주의 보편적인 자연원리다. 언제나 변하지 않고 어디서나 똑같이 작동한다. 뉴턴의 3개의 운동법칙은 뉴턴 역학체계의 공리로서, 이때 공리란 신의 말씀처럼 무조건 받아들여야 하는 진리와 같은 것이다.
① 운동 제1법칙: 모든 물체는 외부의 힘이 작용하지 않는 한, 정지 상태나 등속 직선 상태를 유지한다. → 관성의 법칙
② 운동 제2법칙: 운동의 변화는 외부에서 주어지는 힘에 비례하고, 그 힘이 주어지는 직선 방향으로 일어난다. → 운동의 법칙
③ 운동 제3법칙: 모든 작용에는 언제나 반대 방향으로 크기가 같은 반작용이 있다. 다시 말해 두 물체가 주고받는 작용은 언제나 크기가 같고 반대 방향이다. → 작용과 반작용의 법칙
제1법칙은 ‘관성의 법칙’이라고도 하는데, 외부의 힘을 정의한 ‘정의 IV’와 거의 같은 내용이다. 단지, 외부의 힘과 운동의 관계를 조금 더 긴밀하게 했을 뿐이다. 이 법칙에서 주목해야 할 것은 ‘모든 물체’라는 말이다. 뉴턴의 운동법칙은 지구나 우주 어디에서나, 어느 물체에서나 성립하는 보편적인 법칙이라고 주장하고 있다.
‘운동의 법칙’이라고도 불리는 제2법칙은 뉴턴 역학의 핵심이며, 주인공이다. 사실 무대 위의 배우는 제2법칙 하나이며, 1법칙과 3법칙은 자연이 제2법칙이라는 배우를 비출 때 나타나는 그림자라고 볼 수 있다. 뉴턴 이후에 수학자들은 운동 제2법칙을 간략하게 라고 표현했다. 는 질량이 인 물체 외부에서 작용하는 힘이고, 는 가속도로서 속도의 변화로 구체적으로 정의되는 물리량이다. 물체의 운동 변화(속도 변화)는 힘이 아니라 가속도 로 나타난다. 같은 힘을 받더라도 질량이 가벼운 것이 속도 변화(가속도)가 더 크다. 뉴턴의 역학체계는 우리의 경험적 상식과 잘 들어맞는다.
‘작용과 반작용의 법칙’이라고도 불리는 제3법칙은 외부의 힘만이 아니라, 내부의 힘까지도 포괄하고자 ‘모든 작용’이라는 말을 쓴 것 같다. 제3법칙으로 인하여 여러 입자들로 이루어진 물체의 운동을 기술할 수 있게 된다.
뉴턴은 이처럼 운동법칙을 가정과 해설에 이어 운동을 설명하는 기본 공리로 취급한 후 삼라만상의 운동을 설명하려고 했다. 『프린키피아』 1권에서 운동법칙 외에 만유인력을 주장하여 케플러의 모든 법칙들을 수학적으로 증명했다. 만유인력은 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 힘이다. 2권에서는 유체 속에서의 물체의 운동을 다루며 데카르트의 소용돌이 이론을 부정하고, 3권에서는 태양과 행성들의 질량을 계산하고, 조수의 이론, 행성 궤도의 세차운동 등을 구체적으로 계산하고 설명했다. 물론 사과가 땅으로 떨어지는 것도, 지구가 태양을 중심으로 타원운동을 하고 있는 것도 만유인력과 동일한 운동법칙에 의한 것임도 증명했다.
뉴턴의 중력이론, 만유인력
뉴턴의 3가지 운동법칙들은 지상의 물체에만 적용되는 것이 아니라, 우주의 모든 곳에 똑같이 적용된다는 것에서 우주적인 가치를 갖다. 우주의 모든 것을 지배하는 보편적인 법칙이다. 그러나 이 운동법칙에서 구체적인 힘의 형태가 나타난 것은 아니기 때문에, 아직은 지상의 물체가 아래로 떨어지거나 행성들이 왜 케플러의 3가지 법칙을 만족시키며 움직이는지를 밝히지는 못한다. 운동법칙은 구체적으로 어떠한 힘이 가해졌을 때 그 물체가 따라야 할 운동의 원리이며, 운동의 원인은 아니기 때문이다.
우리는 운동의 원인이 되는 힘을 찾아야 실제의 자연을 설명할 수 있다. 그렇다면 물체를 운동시키는 원인은 무엇일까? 아리스토텔레스는 물체가 아래로 향하는 것은 물체의 고유한 속성이라고 생각했지만, 르네상스 시기 임페투스 이론은 관찰에 기반해 반박을 했고, 운동 원인과 운동 원리가 수식으로 연결되어 있지 않아서 계산할 수도 없었다. 뉴턴의 운동법칙은 운동 원인이 되는 힘과 운동의 원리가 되는 운동량의 변화를 연결하며 역학체계를 제대로 잡고 자연을 정량적으로 계산할 수 있게 되었다. 또한 우주를 관통하는 보편적인 운동 원리를 천명한 뉴턴에게, 운동의 원인이 되는 힘이라고 해서 지상과 천상이 다르다는 기존의 관념이 족쇄가 될 수는 없었다. 뉴턴은 케플러 법칙을 이끌어내고, 달이 지구 주위를 공전하는 속도와 물체의 자유낙하를 하나로 묶을 수 있는 우주 보편적인 힘을 수식으로 나타냈다. 어느 물체나 갖는 질량 때문에 두 물체 사이에는 서로 끌어당기는 힘인 만유인력이 작용한다고 생각했으며, 만유인력의 크기는 두 물체의 질량에 비례하고 떨어진 거리의 제곱에 반비례한다고 했다. 이로써 물체를 운동시키는 원인인 자연의 기본 힘으로써 중력이 구체적인 모습으로 세상에 드러났다.
만유인력을 수식으로 나타내면, 질량이 M과 m인 두 물체 사이의 거리가 일 때 이다. 여기서 중력상수인 는 우리가 일상생활에서 사용하는 미터, 킬로그램 수준의 단위에서 측정한 값은 약 정도로 무척 작은 상수이다. 중력상수의 값이 이처럼 아주 작기 때문에, 우리는 질량이 아주 큰 경우에 대해서만 만유인력을 느낄 수 있다. 지구의 질량이 무척 크기 때문에 지구로부터의 중력은 느낄 수 있지만, 우리의 감각은 옆에 있는 사람 혹은 아무리 커다란 산이라도 우리를 끌어당기는 정도의 중력을 느끼지는 못한다. 만유인력에 따라서 물체의 운동 원인은 자기 자신이 아닌 다른 물체의 질량에 의한 것이며, 운동법칙에 따라서 물체는 자신의 질량에 반비례하여 운동이 변하게 된다.
이제 운동 원인인 힘도 구체적인 형태로 나타났고, 운동을 지배하는 원리인 운동법칙도 수식으로 표현되었으니 계산할 수 있게 되었다. 뉴턴은 자연의 현상들을 계산하기 위해 새로운 수학적 도구와 물리적 개념이 필요하다는 것을 깨달았다. 힘과 운동은 크기만 있는 것이 아니고 방향까지 고려해야 되며, 시간에 따라 연속적으로 변하는 운동을 기술하기 위하여 미분을 개발했다. 미분과 뉴턴의 운동법칙, 힘과 가속도 및 속도와의 관계에 대해서는 이 책에 함께 실린 수학의 다섯째 날을 참고하기 바란다.
만유인력과 운동의 이해
아리스토텔레스는 무거운 쇠공이 가벼운 쇠공보다 먼저 떨어진다고 생각했다. 반면 갈릴레오는 공기저항을 무시한다면, 물체는 동시에 땅에 떨어지며 낙하할 때의 속력이 시간에 비례한다고 주장했다. 지구 위의 물체들은 지구의 중력을 받아서 지구의 중심으로 운동하는 것이 땅에 떨어지는 것처럼 보인다. 지면으로 떨어지는 물체들은 속력이 점점 더 커진다.
1971년 달에 도착한 아폴로 15호 선원이 해머와 깃털을 같은 높이에서 떨어뜨리는 실험
갈릴레오가 옳다는 것을 알고 있으면서도 지구에서도 여러 곳에서 진공을 만들어 다양한 물체들을 떨어뜨리며 확인하는 실험을 했으나, 진공인 달에서 실제로 낙하실험을 해봤다. 1971년에 아폴로 15호의 우주인은 달에서 해머와 깃털을 같은 높이에서 떨어뜨렸다. 물론 두 물체는 동시에 달 표면에 도착했다(이 동영상은 유튜브에서 볼 수 있다).
지구가 지상에 있는 물체를 끌어당기기 때문에 물체가 아래로(지구로) 떨어지지만, 지구는 왜 물체로 떨어지지(끌려오지) 않는 것처럼 보일까? 물론 지구가 지상의 어떤 물체보다도 월등히 무겁기 때문이다. 또한 같은 힘을 받더라도 가속도의 차이가 질량의 비만큼 다르기 때문에 지구는 물체와의 만유인력에 의하여 거의 운동이 변하지 않는다.
지구 궤도를 돌고 있는 가장 큰 인공위성인 우주정거장을 생각해보자. 우주정거장은 400톤 정도의 질량이며 지상으로부터 약 400 km 높이의 저궤도에서 하루에 지구를 15.5바퀴 돌 정도로 빠르게 공전하고 있다. 지구의 반지름은 평균 6,400 km 정도이고, 지구의 질량은 우주정거장 질량의 배 정도 된다. 그런데 지표면으로부터 400 km 높이의 우주정거장은 지구의 반지름에 비하여 밖에 되지 않으며 멀리서 보면 지표면 근처에 있는 것과 별로 다르지 않다. 우주정거장에 있는 우주인은 지표면에서 느끼는 중력의 약 90% 정도이지만 우리가 우주정거장 안에 있는 우주인을 보면 무중력 상태처럼 보인다. 이것은 우주정거장이 빠른 속도로 지구를 공전하고 있기 때문에 원심력과 중력이 균형을 이루어 무중력 상태처럼 보이는 것이다. 사진에서 둥그런 지구를 내려보고 있거나 우주 유영을 즐기는 모습은 경이롭지만, 지구로부터 멀리 떨어져 있기 때문에 무중력 상태가 된 것이 아니라는 것을 알아두자.
우리가 땅에서 볼 때, 지구 주위를 공전하고 있는 위성 중에는 늘 같은 위치것처럼 보이는 정지궤도 위성이 있다. 정지궤도 위성의 공전주기는 지구의 자전주기와 같이 하루에 1회전을 한다. 하루에 1회전을 하면 우주정거장의 15.5회 회전에 비하여 꽤 느리게 공전하는 것이다. 이렇게 느리게 공전하면 원심력은 우주정거장에 비하여 아주 작으며, 정지궤도에 작용하는 중력도 같은 정도로 작아야 일정한 궤도 높이를 유지하며 임무를 수행할 수 있다. 실제로 하루에 1회 공전하기 위해서는 약 36,000 km 정도의 고도에 있어야 한다는 것을 계산으로 구할 수 있다.
영화에서 우주정거장이 파손되어 밖으로 나오게 된 우주인을 우주 잔해가 위협하며 지나가는 것을 볼 수 있다. 이 우주 잔해는 2시간 내에 다시 돌아올 정도로 빠르게 지구를 공전하며 우주인을 위협한다. 그러나 이것이 잘못된 설정이다. 지표면에서 같은 높이에 있는 물체는 우주정거장이든 우주 잔해든 같은 빠르기로 공전하기 때문이다. 우주정거장보다 빠르게 움직이면, 원심력 때문에 바깥궤도로 움직이기 때문에 원심력과 지구 중력이 같아지는 궤도에서 다시 안정적으로 공전하게 될 것이다.
우주 잔해가 우주정거장과 같은 인공위성에 위협이 되는 것은, 우주 잔해가 있는 곳에도 적지만 대기가 있기 때문에, 공전하는 동안 마찰을 받아 속력이 느려지고 원심력이 작아지며 지구 중력이 더 커져서 지구 쪽으로 이동하기 때문이다. 인공위성은 일정한 높이에서 공전하기 위하여 태양 빛을 전기로 변환하여 마찰에 의한 속력 감소를 약간씩 보완하여 일정한 궤도를 유지한다. 그러나 수명이 다한 인공위성은 그렇게 할 수 없으므로, 속력이 줄어들고 지구로 향하면서 다른 인공위성과 충돌할 위협이 된다.
저궤도의 우주정거장이 정지궤도 위성에 비하여 빠른 속력으로 지구를 공전하는 것처럼, 행성들이 태양을 공전하는 속력은 궤도가 클수록 느리다. 지구보다 바깥에 있는 화성, 목성은 태양으로부터 받는 중력이 지구보다 작기 때문에 공전에 의한 원심력이 작다. 따라서 지구 바깥의 외행성들이 공전하는 속력이 지구의 공전속력보다 적어서 생기는 현상으로, 외행성의 역행운동이 있다. 공전궤도의 반지름과 공전주기 사이의 관계는 케플러가 관측 자료를 바탕으로 3번째 법칙에서 수식으로 만들어냈고, 뉴턴은 운동법칙과 만유인력만으로 케플러의 법칙 3개를 모두 유도했다.
참고
과학은 논쟁이다 – 과학 vs 과학철학, 경계를 묻다 재단법인 카오스 (기획)반니