만유인력(뉴턴의 중력)은 질량을 갖고 있는 모든 물체가 서로 끌어당기는 힘으로써, 지구에서만 만족하는 것이 아니라 우주 어디서나 만족하는 우주 보편적인 힘이다. 따라서 질량을 갖는 천체들의 운동도 운동방정식에 만유인력을 넣어서 풀 수 있다. 이것을 운동방정식으로 쓰면,
![\[ {G \cfrac{M m}{r^{2}} \pmb { \hat{r}}= m \pmb{a}} \]](https://i0.wp.com/homoscience.kr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b5dcd41c6f8291f47319feb5b6aa27cf_l3.png?resize=127%2C44&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
으로 쓸 수 있다.
이 운동방정식을 3차원에서 푸는 것은 쉽지 않다. 만유인력은 중심까지의 거리와 중심방향으로 작용하는 중심력이기 때문에, 행성의 운동을 알아내는 운동방정식은 3차원 극좌표계로 푸는 것이 더 낫지만 이 역시도 여기서 다르기에는 쉽지 않다.
대신에 이 운동방정식을 풀지 않고 알 수 있는 행성운동에 대한 정보를 찾아보자. 이미 우리는 뉴턴의 만유인력과 운동법칙이 나오기 전에 케플러의 행성운동의 법칙 3가지로 태양계의 행성운동을 잘 설명하는 것을 알고 있다. 이것과 관련하여 아래의 그림에 나타난 내용을 설명하는 것으로 여기서는 만족하기로 하자.
각운동량과 벡터곱에 대해서는 여기서는 자세히 이야기하지 않기로 한다.
- 중심력이기 때문에 각운동량이 보존되며, 각운동량이 보존되기 때문에 케플러의 제2법칙인 면적속도(시간에 따른 면적의 변화)가 일정하다는 것은 어렵지 않게 유도할 수 있다.
- 만유인력이 거리의 제곱에 반비례한다는 것을 풀면 2차곡선(원, 타원, 포물선, 쌍곡선)의 궤적이 나오는 것은 운동방정식을 풀면 얻을 수 있다. 여기서 닫힌 궤도는 원과 타원이며, 포물선과 쌍곡선 운동은 한 번 가까이 오고 난 후에 다시는 되돌아 오지 못하는 궤적이다. 행성은 정의상, 태양(별) 주위를 공전하는 천체이기 때문에 타원운동을 한다는 결과(케플러의 제1법칙)가 얻어진다. 물론 원은 타원의 특별한 경우이며, 어떤 천체들은 주기적 운동이 아니라 포물선 혹은 쌍곡선 운동을 하며 한 번 스쳐지나가고 다시는 만나지 못하게 된다.
- 뒤이어 차원분석에서 설명하겠지만,
![\[ {G \cfrac{M m}{r^{2}} = m \cfrac{d^{2} r}{dt^{2}}} \]](https://i0.wp.com/homoscience.kr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7082d01efb64839ddce0a834e5c0a7e2_l3.png?resize=139%2C49&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
식에서 가속도의 물리량은 시간 차원의 제곱에 반비례하고 거리 차원에 비례한다. 또한 만유인력은 거리의 제곱에 반비례하기 때문에, “만유인력=ma”의 식을 통하여 시간의 제곱과 거리의 세제곱이 비례하는 케플러의 3법칙(조화의 법칙)을 예견할 수 있다.
위에서 태양이 정지한 것처럼 나타났지만, 사실 태양은 우리은하의 2천억 개 정도 되는 별들 중의 하나일 뿐이고 우이은하의 외곽에 자리잡고 있다. 태양 역시 만유인력을 받아서 우리은하 주위를 공전하고 있으며, 지구는 형성된 이후에 대략 우리은하를 20번 정도 공전했다.
우리은하를 공전하고 있는 태양을 보면 아래와 같이 좀 더 역동적인 운동을 하는 속에서 우리 지구가 있다는 것을 볼 수 있다. 물론 우리은하 역시 정지한 것이 아니라 팽창하는 우주속에서 운동하고 있다.
