두 번째 운동법칙은 뉴턴 이론의 중심이며, 자연의 근본 원리로 여겨질 수 있었다. 운동 제2법칙을 통하여 지구가 태양주위를 빠르게 공전하고 스스로 자전해도 잘 느끼질 못하고 평화로울 수 있다는 것을 계량적으로 이해할 수 있다.
우리는 앞에서 합리적 추론과 물리적 직관을 바탕으로 $latex pmb{F} = m pmb{a} $ 라는 운동상태를 결정하는 가속도로 운동상태를...
만유인력(뉴턴의 중력)은 질량을 갖고 있는 모든 물체가 서로 끌어당기는 힘으로써, 지구에서만 만족하는 것이 아니라 우주 어디서나 만족하는 우주 보편적인 힘이다. 따라서 질량을 갖는 천체들의 운동도 운동방정식에 만유인력을 넣어서 풀 수 있다. 이것을 운동방정식으로 쓰면,
으로 쓸 수 있다.
이 운동방정식을 3차원에서 푸는 것은 쉽지 않다. 만유인력은 중심까지의 거리와 중심방향으로 작용하는...
빛의 반사와 굴절
입자설과 파동설 어느 것으로도 빛의 반사(reflection)와 굴절(refraction)을 설명할 수 있다. 빛이 다른 매질로 들어서며 굴절하는 정도를 나타내는 굴절률은 상대적인 물리량이지만, 매질의 굴절률에 절대값을 부여하기 위하여, 진공의 굴절률을 1로 정하고 다른 매질들의 굴절률은 진공에 대한 상대적인 값을 절대값으로 부여한다. 빛은 매질 없이도 진행할 수 있지만, 물질과 만나면 물질(주로...
파동은 물질이 아니라 에너지가 흐르는 것이다. 자연에서 무엇인가를 이동시킬 수 있는 방법은 두 가지다. 직접적인 방법과 간접적인 방법. 이렇게 이야기를 하면, 단지 ‘직접’과 ‘간접’이라는 용어만 나열한 것이지 특별히 가치 있는 어떤 정보를 준다고 할 수 없다. (물리적 실체인) 무엇인가를, 공간적으로 멀리 떨어진 두 점 A에서 B까지 이동시키는 경우를 생각하자....
우리는 조상에 비하여 탈 것을 많이 이용하고, 차가 막히지 않을 때 빠르기와 방향이 변하지 않는 등속 직선 운동을 경험하기 때문에 관성에 대해 조상보다는 쉽게 이해할 수 있다. 등속 직선 운동할 때 우리는 차가 움직이고 있는지를 잘 알지 못하고, 창을 통해 주변의 풍경이 변하는 것을 보며 “내가 움직이고 있구나, 이...
표현의 편의상, 속도와 위치를 v(t)와 r(t)로 표기하고, v0와 r0는 처음의 속도와 위치를 나타내는 것으로 한다. 좌표계는 우리가 편의에 따라 선택할 수 있으므로 특별히 언급하지 않는 한, 출발점인 r0의 위치를 편의상 원점(r0 = 0)으로 놓아도 된다.
먼저 크기를 고려하지 않고 질점(mass point)의 운동을 기술하려고 한다. 수식이 많이 나오기 때문에, 만들어 놓은...
파동 역학
매질의 복원력을 뉴턴의 운동방정식에 넣고, 극한을 취하면 일반적인 파동방정식을 얻을 수 있다. 편의상 매질의 1차원적 운동에 대해 이야기하기로 한다. 2차원, 3차원 운동으로 확장하는 것은 수학적으로 조금 더 일을 하는 것이고 물리적으로 큰 변화가 있지는 않다.
k는 파수(wave number)라고 부르며, 단위길이당 파동의 개수인 1/λ에 2π를 곱한 물리량이다.
주기(period)를 T라는 기호로 표현하자....
물리량
우리가 지금껏 역학과 물리량을 다루면서도, 수학적인 관점을 이야기하면서 물리적인(실존적인) 개념에 소홀히 한 것 같다. 우리는 현실 세계를 기술하는 물리량들을 보다 잘 살펴볼 가치가 있다. 수학의 변수에 물리량이 대응되어야만 자연과 만날 수 있다.
물리량과 단위계
추상적인 논리구조를 연구하는 수학에 등장하는 문자와 변수들은 가볍다. 명제와 논리를 풀어나가기 위한 매개적인 역할을 하고, 문자 자체적으로...
파동이 진행하다가 장애물을 만나서 진행방향, 형태가 바뀌는 것을 회절(diffraction)이라고 한다. 직진하던 입자가 장애물을 만난다고 돌아가지는 않기 때문에, 회절은 간섭과 더불어 파동성을 나타내는 대표적인 특성이다. 회절은 파장의 길이가 길수록 더 잘 일어난다. 작은 터널을 지날 때 자동차에서 수신하는 DMB 신호가 끊기더라도, 라디오 소리가 계속 나올 수 있는 것은 파장에 따른...
정준 좌표계의 위상공간에 정의된 두 함수 f와 g에 대하여, 푸아송 괄호(Poisson bracket) {f, g}를 아래와 같이 정의해보자.
(정의 1)
여기서 인덱스 i는 물체를 구별하는 인덱스로써 N계의 입자로 구성된 계이라면 i = 1, 2, 3, …, N 이다.
일반적으로 위상공간에서 정의된 함수 f=f(q, p,t)의 시간미분을 살펴보면
는 해밀턴 방정식을 만족하는 q와...
